Op. Dr. Mehmet Alkan schloss im Juli 2014 sein Studium an der Medizinischen Fakultät der Universität Istanbul Cerrahpaşa ab. Nach seinem Abschluss begann er im September 2014 seine medizinische Laufbahn als Allgemeinmediziner am staatlichen Krankenhaus Fethiye.

Anschließend arbeitete er zwischen Dezember 2014 und Dezember 2015 als Assistent für Neurochirurgie am Marmara University Pendik Training and Research Hospital. Diese Erfahrung hat ihm geholfen, seine chirurgischen Fähigkeiten zu verbessern und mehr Wissen auf dem Gebiet der Chirurgie zu erlangen.

Von März 2016 bis Juli 2021 arbeitete er als Assistent für Plastische, Rekonstruktive und Ästhetische Chirurgie an der Izmir Katip Çelebi Universität, Atatürk Training and Research Hospital. Diese Zeit war eine Zeit, in der sein Interesse und seine Expertise in der ästhetischen Chirurgie geprägt wurden.

Im Juli 2021 wurde er zum Spezialisten für Plastische, Rekonstruktive und Ästhetische Chirurgie am Staatlichen Krankenhaus Diyarbakır Dağkapı ernannt.

Nachdem er bis Februar 2023 in Diyarbakır gearbeitet hatte, arbeitete er von Februar 2023 bis Juli 2023 im Estetik International Hospital. Ab August 2023 eröffnete er dann seine eigene Privatklinik in Nişantaşı und betreut seine Patienten mit einer persönlichen Note.